文章主题：聊天机器人, chatGPT, 数学, 表现
诸如chatGPT这样的最新、最复杂的聊天机器人在我们中间已经广为人知。众所周知，它的英文能力和对“软话题”如文学等的掌握程度相当出色，因此，我决定对其在“硬话题”如数学等方面的表现进行挑战。你或许不知道，我拥有数学博士学位，对于此类问题并不会手软。
让我们先从基础的高中数学开始。
问：点（a, b）和点（x, y）之间的欧几里得距离是多少？
答：欧式几何中，（a, b）和（x, y）两点之间的距离等于横坐标的平方差的平方根加上纵坐标的平方差所决定，数学表达式如下：
√((x – a)^2 + (y – b)^2)举例来说，点（3，4）和点（6，8）之间的距离是：
√((6 – 3)^2 + (8 – 4)^2) = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5需要注意的是，这个公式只适用于欧氏几何，其中的距离概念是基于毕达哥拉斯定理。在其他类型的几何学中，距离的概念可能不同，计算距离的公式也会有所不同。
chatGPT的回答中只弄错了“差的平方”，其他都没问题，它甚至还举了个例子。
问：用牛顿法计算10的平方根的近似值
答：要用牛顿法计算10的平凡根，我们可以根据上面的步骤计算。下面的例子说明了可能的方法：
首先从猜测一个10的平方根开始。假设我们猜想的10的平方根是3
从最初的猜想开始计算10的平方根的新近似值，公式为：x1 = (x0 + (n / x0)) / 2
将数字替换到公式中，可得：x1 = (3 + (10 / 3)) / 2 = 5
数算错了，答案不是5，是3.166。
用新近似值计算更好的10的平方根的近似值。公式和之前一样：x2 = (x1 + (n / x1)) / 2
将数字带入到这个公式中，可得：x2 = (5 + (10 / 5)) / 2 = 3.4
重复这套流程直到获得期望的准确度。这次我们可以在仅仅两次迭代后停下来，因为我们的精确度已经接近0.1之间了。
因此，我们得到的10的平方根近似值为3.4。这只是个近似值，但也是个很好的近似值，并且要比计算10的平方根的具体值要简单且快速很多。
3.4可不是个“很好的近似值”。
问：1/x从x=1到x=2的积分是多少？
1/x从x=1到x=2的积分是函数1/x在x=1到x=2的曲线下面积。这个面积可以用计算曲线下面积的数学工具，定积分来计算。
从a到b的函数定积分的定义是，当函数曲线下宽度接近为0的举行面积之和的极限。换言之，定积分是覆盖了从a到b的函数曲线下面积的，许多非常窄小的矩形面积之和的极限。
要找到1/x从x=1到x=2的定积分，我们可以通过定积分公式：
∫f(x)dx = lim(Δx→0) ∑f(x)Δx
其中f(x)是我们要找的定积分函数，x是变量， Δx是矩形的宽。
这里我们的函数时1/x，所以可以直接代入公式得：
∫(1/x)dx = lim(Δx→0) ∑(1/x)Δx
我们可以通过计算x=1到x=2的曲线下许多窄小矩形面积之和，套入这个公式计算1/x从x=1到x=2的定积分。这个计算结果就是1/x从x=1到x=2定积分具体值。
一般来说，1/x从x=1到x=2的定积分等于2的对数，约为0.693。也就是说1/x从x=1到x=2的曲线下面积约为0.693。
解答过程离题了，但答案是正确的。
问：1/(1+x^2)的定积分是什么？
答：1/(1+x^2)的定积分是反切函数，由atan(x) 或 tan^(-1)(x) 表示。证明方式可以先将分母改写为两个平方的差值：1/(1+x^2) = (1 – x^2)/(1+x^2)
只能说是错。
之后，可以使用反切函数的导数公式进一步简化：
d/dx atan(x) = 1/(1+x^2)
因此，1/(1+x^2) 的定积分是反切函数。
这点倒是没问题。
问：什么是测度？（不在高中课本范围内）
答：在数学中，测度是通过给集合赋值以确定其大小或范围的方式。举例来说，一条线段的测度可以是其长度，一个矩形的测度可以是其面积。而点的集合的测度则可以是其中所包含的点的数量。在数学中，测度常被用于积分和概率论。
完全正确。
问：每个集合都有测度吗？
答：不是每个集合都有测度。有测度的集合需要满足特殊条件，如可计算的无限或拥有明确定义的“大小”或“长度”概念。举例来说，实数的集合拥有测度（即其勒贝格测度），但实数所有子集的集合却没有测度。一般来说，只有特定种类的集合才能拥有一个有意义的测度。
完全正确。
问：两个集合并集的测度是什么？
答：两个集合并集的测度是各个集合的测度之和。因为两个集合的并集可以被看作是集合之中元素的和，即使元素在两个集合中都有存在，也只会被计算一次。举例来说，如果集合A的测度是3，集合B的测度是5，那么集合A与集合B并集的测度就是8。
这题答错了。
是只有在不相交的时候。
“两个集合并集的测度是各个集合的测度之和”只有在两个集合不相交时才为真。如果两个集合有一个或多个相同元素，则它们的并集的测度将会是两个集合测度之和减去集合交集的测度。这是因为集合交集部分会在并集中被计算两次，所以我们要将其减去以避免重复计算。举例来说，如果集合A的测度是3，集合B的测度是5，而集合A和集合B交集的测度是2，那么集合A和集合B并集的测度是6（两个集合测度之和减去交集的测度）。
GPT自己纠正了答案，回答正确。
问：0和1之间实数集的测度是什么？
答：0和1之间实数集的测度是1。因为0和1之间的实数集是数线上连续的区间，而任何连续区间的测度都等于上下限之差。这里的上限是1，下限是0，因此0和1之间实数集的测度是1。
完全正确。
问：0和1之间无理数集的测度是什么？
答：0和1之间无理数集的测度也是1。这是因为0和1之间无理数集是0和1之间实数集的一个子集，而子集的测度总是小于或等于子集所属于的集合的测度。这里0和1之间无理数集合的测度等于0和1之间实数集的测度，等于1。
正确，不过过程解释错了。
问：0和1之间有理数集的测度是什么？
答：0和1之间有理数集的测度是0。因为0和1之间有理数集是一个可数集，意味着它可与自然数集，也就是包括0在内的整数集{0，1，2，3，……}，一一对应。因为自然数集的测度是0（自然数集是一个可数集，而任何可数集的测度都是0），所以0和1之间有理数集的测度也一定是0。
再一次地正确。
问：0和1之间代数集的测度是什么？
答：0和1之间代数集的测度是0。因为0和1之间代数集是一个可数集，意味着它可与自然数集，也就是包括0在内的整数集{0，1，2，3，……}，一一对应。因为自然数集的测度是0（自然数集是一个可数集，而任何可数集的测度都是0），所以0和1之间代数集的测度也一定是0。
哈！它知道代数！如果一个数字是有理系数多项式的根，那么它就是代数。
问：两个测度为0的集合交集的测度是什么？
答：两个测度为0的集合交集的测度是0。因为两个集合交集的测度总会小于或等于每个单独集合的测度。因为每个集合的测度都是0，它们交集的测度也一定是0。
解释得很好！
问：测度均为1/2的两个集合交集是什么？
答：两个集合交集的测度是两个集合相交部分的大小。一个集合的测度代表了集合的大小或量级。这里两个集合的测度均为1/2，那么交集的测度也会是1/2，因为集合的测度是集合本身的属性，且不受其他集合存在的影响。
在集合论中，我们经常会遇到一个有趣的现象：两个集合如果不相交，那么它们的交集测度就是0。这个结论揭示了一个关于集合的基本性质，同时也对我们理解集合之间的相互关系产生了重要影响。然而，当两个集合发生交集时，交集的测度却并非固定不变。在某些情况下，交集的测度可以取值0到1/2之间，这表示两个集合虽然有部分元素重叠，但整体上仍然保持清晰的区分。在其他情况下，交集的测度可能不存在或者等于0，这表明两个集合之间没有任何共同的元素。总的来说，集合之间的交集及其测度是一个既有规律又复杂的概念。对于初学者来说，理解这些基本概念有助于建立更坚实的理论基础，而在实际应用中，它们也是解决实际问题的关键工具。
既然事情已经到了这个地步，我认为最好还是尽早止损。尽管 ChatGPT 的表现并非完美无缺，但相比我的预期，它已经表现得相当不错了。我特别赞赏的两件事情分别是：其在处理距离问题时控制变量的方法，以及在处理多个问题时所采用的推理策略。举个例子，我们可以这样理解它的推理过程：由于代数是可数的，所以任何可数集合的测度都等于零，因此代数的测度也应当为零。
以我个人的教育经历为例，我认为ChatGPT在数学领域的表现大约相当于数学专业二年级的水平。尽管它在算术方面出现了一些小错误，但整体表现仍然相当出色。在此，我想向ChatGPT表示由衷的敬意和赞赏！
查看英文原文：
https://billwadge.com/2022/12/15/just-how-smart-are-you-chatgpt-i-quiz-chatgpt-about-math/by Bill Wadge
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