文章主题：素数无限性, 反证法, 二次剩余理论, 分圆多项式
一，
上一篇文章《
ChatGPT的数学水平到底如何？？
🔥ChatGPT4.0数学大挑战🔍！相较于前代3.0，我们期待它在数学能力上的飞跃提升。让我们一探究竟，见证超AI的最新进展，是否如预期般展现出更强大的算法与逻辑思维。🌟每一步升级都是科技的进步，让我们拭目以待ChatGPT4.0将如何颠覆我们的学习和理解方式！📚
在数学这个庞大的领域中，最能挑战人类心智水平的无疑就是数学证明。
🌟当然，作为一名专业的文章撰写者，我完全理解您希望对ChatGPT4.0的数学证明能力进行评估的初衷。今天，让我们以一个探索者的角度，通过严谨的问题设计来检验其逻辑推理的准确性。在此过程中，我将巧妙地隐藏个人身份，确保信息的匿名性，并避免任何潜在的营销元素干扰。感谢数感星球的靳博士无私的支持，他的专业知识将为这次测试提供坚实的保障。让我们共同期待ChatGPT4.0能给出令人信服的答案吧！_math_wizard_at_work💪
二，
🌟为了深入评估GPT在数学证明方面的实力，👀我精心编排了7个挑战性问题，它们围绕素数无穷性的核心概念，逐步递增难度。每一道题目都是对逻辑思维和严谨证明的考验，旨在揭示其潜在的数学智慧。📚如果你想一探究竟，不妨从基础开始，一步步迈向数学的无尽奥秘吧！记得，每个步骤都至关重要，因为通往真理的路从来不会平坦。💪
🌟素数探索者的秘密武器🔍：了解这些神奇数字的奥秘！大于1且不可轻易分解的质数，是数学世界中的钻石✨。它们包括但不限于2, 3, 5, 7, 11, 13… 每个都是独立存在，无与伦比的数学奇观！但请注意，4, 6, 8等并非纯素，它们可以轻易地通过简单的乘法分解。记住，素数就像大自然中的独行侠，守护着数字王国的秘密。 若要深入探索，让我们一起踏上寻找这些神秘数字的旅程吧！🌍SEO优化提示：使用”质数定义”、”素数特性”、”简单分解”等关键词，提升搜索引擎可见度。
好了。我们的第一个关卡是
第1关，证明存在无限多个素数！
证明欧几里得几何平面性质的著名定理，以其简洁的反证法而闻名，被广大的数学爱好者所熟知。虽然看似基础，但其逻辑严密性不容小觑。ChatGPT作为先进的AI模型，应对这样的问题想必不在话下。验证它的智慧，就让我们一起期待它轻松的解答吧！🌟
第2关，4n+3型素数是指被4除余数为3的素数，比如7，11，19，23。证明存在无限多个4n+3型素数！
这个证明和第一个证明的方法几乎是一样的，但需要一点点更灵活的运用，所以这个证明也会难一些。
第3关，4n+1型素数是指被4除余数为1的素数，比如5，13，17，29。证明存在无限多个4n+1型素数！
🌟通过深入的逻辑推理与二次剩余理论的巧妙运用，第三个证明同样采用反证法，其构造的矛盾层次相较于前两者显著升级，挑战性直线上升。SEO优化提示：#复杂证明# #二次剩余理论# #逻辑难题
第4关，令k是任意一个大于2的整数。证明存在无限多个kn+1型素数！
和前三个证明相比，这第四个证明的难度又明显加大了。因为这个结论比较一般，而且还要用到分圆多项式的构造及其性质。这个漂亮的证明最早出现在E. Wendt, 1895年发表在 J. Reine Angew. Math. 上的论文中，在华罗庚的《数论导引》中也有这个证明。
第5关，令k是任意一个大于2的整数。证明存在无限多个kn-1型素数！
这第五个证明和第四个证明难度大致相当，不过还是会难一些，因为涉及到了比分圆多项式更复杂的一类多项式的构造及其性质。这是第二个证明结论的推广。关于这第五个证明，可以参考T. Nagell的《Introduction to Number Theory》或者我本人发布在美国数学月刊的文章《Infinitely Many Primes in the Arithmetic Progression kn − 1》
第6关，令a和b是两个互素的正整数，证明在等差数列中存在无限多个素数！
这就是大名鼎鼎的Dirichlet定理，这个定理的标准证明需要用到解析数论中的Dirichlet函数。Dirichlet定理是前面五个证明结论的推广，所以运用Dirichlet定理就可以直接推导出前五个结论。
第7关，n^2+1型素数是指能写成平方数加1的形式的素数，比如5=2^2+1，17=4^2+1，37=6^2+1都是n^2+1型素数。证明存在无限多个n^2+1型素数！
这是数论中一个非常困难的猜想，目前的人类数学水平根本无法撼动，如果ChatGPT能证明这个猜想，那整个数学界将被彻底颠覆。
三，、
GPT4能闯过第几关呢？？？
让我们拭目以待！！
第一关，顺利通过！
第二关，顺利通过！！
注意证明过程中有个小瑕疵：(4m+1)(4n+1)=4(mn+m+n)+1, 不过这不影响整个证明的正确性
第三关通关失败了！
在这里，GPT4试图照搬上面的证明，到后面都无法自圆其说了。
前面说过，这个证明是不能照搬前面的证明的，需要用到二次剩余理论，但GPT4的整个证明过程中都没提及剩余理论。
不过，比起GPT3，GPT4还是有明显进步，GPT3第二关通关就失败了，下面是GPT3 的错误证明，整个证明过程显得有些胡说八道：
四，
下面我们测试一下GPT在无理数证明上的表示。
上一篇文章中，我们发现ChatGPT3.0可以迅速正确地证明根号3 不是无理数，但是要求证明根号12不是无理数时，它就只会照搬先前的证明，闹了笑话：
我们来看ChatGPT4.0的表现：
这时，GPT4.0会懂得从两边推导提前3这个因子，由此来构造矛盾，这比起3.0是一个明显的进步，虽然证明过程中有个小笔误: “设a=2*2*3*k”
证明根号15不是无理数时，GPT也有同样出色的表现。当然了，证明过程中还是有点小瑕疵：由a必须是3和5的倍数，直接设出a=3*5*k。严格来讲，这里还需要简单运用一下算术基本定理。
其实整个证明过程只需要提前3这个因子就够了。
为了测试GPT4.0在这个方向上能走多远，我开始加大证明难度，要求它证明下面这个更一般的结论，这个更一般的结论大致有两种证明，第一种是经典的证明，运用算术基本定理，第二种证明是利用运算封闭性，可以参考我在B站的视频
结果GPT4给出了一个错误的证明，注意“不能表示成正整数的平方”和“不能表示成有理数的平方”，这原本是两码事，需要你证明这是一码事。
看来，这个证明已经超出了GPT4的水平了。
另外，请注意混淆“不能表示成正整数的平方”和“不能表示成有理数的平方”，这种错误也经常出现在人类的初学者身上。
五，
上一篇文章发表之后，不少读者认为GPT是在照抄其他地方搜索到的答案，根本没有思维能力。其实，这是典型的误解。因为这两篇文章中测试的证明题绝大部分都是非常经典的，如果GPT真想抄答案的话，以它的检索能力，它完全可以抄到正确的答案。
注意，从目前我发现的GPT的证明错误中看，它所犯的错误都是我们人类容易犯的错误，包括一些简单的计算错误，笔误。
另外，我注意到一个普遍的现象，面对相似的，但证明难度不一样的证明题，它会经常模仿甚至照搬证明而出错。其实，这中模仿甚至照搬的现象在数学证明的初学者中是非常非常普遍的。
从上一篇测试文章中，我发现面对简单的归纳法证明，比如自然数平方求和公式，素数分解存在性证明等，GPT都能轻松胜任，但是面对较复杂的归纳法证明，比如素数分解唯一性证明时，它的证明思路就显得很混乱，两相比较之下，我能明显感受到它的数学逻辑推理能力的不成熟和局限性，这和刚开始接触数学证明的人的表现也是非常类似。
总之，目前GPT的数学表现中已经隐约出现了不少人类的特征。
另外，GPT进步也是非常显著的，如果说GPT3.0的数学水平和人类高中生相当的话，那么从今天的测试来看，GPT4.0的数学水平已经差不多是人类大学生的水平了。
听闻GPT5.0已经处在内部测试阶段，我非常期待GPT5.0来我这里闯关。
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