AI与数学
陶哲轩介绍 说到天才数学家，就不得不首先介绍一下数学神童陶哲轩了。他是一位华裔美国数学家，13岁获得国际数学奥林匹克竞赛数学金牌；16岁大学毕业，17岁硕士毕业，21岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁起在加利福尼亚大学洛杉矶分校担任教授。2006年31岁时获得菲尔茨奖（数学界最高奖项）、拉马努金奖和麦克阿瑟天才奖，2008年获得艾伦·沃特曼奖，2015年获得科学突破奖—数学突破奖。陶哲轩的兴趣横跨多个数学领域，包括调和分析、非线性偏微分方程和组合论等。而ChatGPT刚发布没有多就，就已经成为天才数学家陶哲轩的研究助手了！期间，各种ChatGPT的“隐藏功能”都被陶哲轩挖了出来。 用于公式求解 总的来讲，陶哲轩大概的意思就是：ChatGPT数学能力虽然不咋滴，但对做学术研究的人来说是个发散思维的好工具。陶哲轩直接给出了他用ChatGPT求解数学题的一个例子。刚开始，他直接把同事询问的问题逐字逐句抛给了ChatGPT。ChatGPT也有模有样地回答了起来，期间还提到了一个高度相关的术语：对数矩生成函数，甚至在给出的答案中还讨论了一个具体的例子。这术语，这举例…乍一看，甚至骗过了陶哲轩的“法眼”，不过在检查一遍之后，陶发现：答案是错的！按理说一般人的逻辑到这里就该结束了——得出结论：ChatGPT的数学能力不太行。但陶哲轩还没有止步，他仔细分析了ChatGPT给出的解答过程，发现并不是完全错误的，还是有可取之处。比如说，ChatGPT在解答过程中用的是lmgf公式，而在克拉默定理给出的标准答案中用到的是lmgf公式的Legendre变换。虽然不是正确的解题思路，但也很接近正确答案了。紧接着他又用ChatGPT手机短信版再试了一个数学问题：我该如何证明有无穷多个素数？虽然给出的证明的是意料中的不完全正确，但陶发现ChatGPT给出的论证思路是可以被固定下来的，并且这个思路他之前还从未见过。这一通试用下来，直接打开了陶哲轩的思路。既然ChatGPT在具体数学问题上给出的答案是不完全正确的，那不如索性发挥发挥它生成答案部分正确的特性：在处理数学问题时，可以让ChatGPT这类大语言模型做一些半成品的语义搜索工作。也就是说，ChatGPT不用提供确切的答案，只用生成一些可能的提示，这样就对数学家的解题过程提供了很大的帮助。还有人脑洞大开，想知道AI能否提出一些全新的数学猜想。AI能不能提出猜想不知道，但是AI自动、半自动证明定理已经是现实，并且走向实用化了。 为什么 话说回来，既然都只是用作数学研究中的一个工具，为啥在陶哲轩眼中AI会更合适，而传统搜索引擎就不太行呢？因为AI“思维逻辑”更发散！陶直接从传统计算机软件和AI工具的内部运行逻辑分析了一通。先来说传统的计算机软件，它的运行逻辑类似于函数，这是一个很标准的数学概念。具体来说，若输入的在给定域中，软件就能够可靠地给出范围中的单个输出，若输入不在给定域中，则就不能给出结果或者说乱给一些结果。而AI工具，就不会像传统计算机软件那样死板，它运行的逻辑不是基于经典函数，而是类似于概率输入，AI会从一个概率分布μₓ中采样，然后随机输出。而这个概率分布，集中在完美结果附近。不过这样也会导致一些随机偏差和不准确结果的产生。但整体比较下来，AI工具还是具有一定的优势。一方面它更加灵活，可以比传统的软件工具更优雅地处理嘈杂或格式不好的输入。另一方面，在一定程度上AI的“思维方式”也会更加发散。但对于AI半自动证明定理的论文，审稿人就难了。陶哲轩对AI的观察，也在学术圈引起了一场讨论。他指出，阅读AI写的论文和人写的论文体验完全不同。阅读人写的论文，通常能在上下文和风格上捕捉到一些线索，通过这些线索可以快速分离出论文的“肉”，加快阅读速度。AI生成的数学论文，文字看起来都很有说服力，必须一行一行仔细看才能发现其中的缺陷。纽约大学教授马库斯将其解读为：同行评议从此更难了。不过网友中也有人认为，让审稿人必须一行一行仔细看，而不是依赖于肤浅的格式信号，也算得上一件好事。 其他用途 可以用于资料的查找。但首先要有技巧地抛出一个问题，假设陶想找库默尔定理但记不起来这个定理的名字，他是这样来问的：我正在找一个关于（balabala）的公式，它是一个经典的理论但我想不起名字，你能给我解答吗？最终ChatGPT给出的答案是Legendre公式（一个相关的结果），然后根据这个答案用传统的搜索引擎就可以轻松找到库默尔定理。还可以用AI写邮件，改写论文语句、查询小语种数学名词的发音等。 AI在数学上应用展望 IBM研究员Jason Rute展示了一种受AlphaGo启发的方法，将定理证明类比成围棋，下一个步骤相当于下一手棋，得证相当于获胜。谷歌科学家吴宇怀则分享了大语言模型在自动形式化（Autoformalization）上的进展。而陶哲轩本人对AI的兴趣也不止于此，用机器学习解决实际问题也在他的涉猎范围之中。刚刚在澳大利亚的一场讲座上，他还分享了如何用数学结合机器学习预测火灾变化。既然ChatGPT能在纯数学中都得到应用，那其他行业肯定也能得到更好地应用，让我们拭目以待。2023年3月11日
